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三次函數(shù)的性質(zhì)以及在高考中的應(yīng)用舉例,高中數(shù)學學習資料
巧用代換法解題高一、高二、高三·‘“〈《「『【〔〖［｛?¨·ˇˉ—‖’”…∶、�！ā�〉》」』】〕〗！＂＇，：；？］｀｜｝～。。樣式樣式樣式、、、■例，、表格網(wǎng)格型
三次函數(shù)的性質(zhì)以及在高考中的應(yīng)用

三次函數(shù)已經(jīng)成為中學階段一個重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨命題。年高考，在江蘇卷、浙江卷、天津卷、重慶卷、湖北卷中都出現(xiàn)了這個函數(shù)的單獨命題，特別是湖北卷以壓軸題的形式出現(xiàn)，更應(yīng)該引起我們的重視。單調(diào)性和對稱性最能反映這個函數(shù)的特性。下面我們就來探討一下它的單調(diào)性、對稱性以及圖象變化規(guī)律。
函數(shù)的導函數(shù)為。我們不妨把方程稱為原函數(shù)的導方程，其判別式。若，設(shè)其兩根為，則可得到以下性質(zhì)：
性質(zhì)：函數(shù)，
若，當時，＝是增函數(shù)；當時，其單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
若，當時，是減函數(shù)；當時，其單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是。
證明略
推論：函數(shù)，當時，不存在極大值和極小值；當時，有極大值、極小值。
根據(jù)和的不同情況，其圖象特征分別為：

圖
性質(zhì)：函數(shù)若，且，則：
；
。
證明略
性質(zhì)：函數(shù)是中心對稱圖形，其對稱中心是。
證明：設(shè)函數(shù)的對稱中心為，。
按向量將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)，所以

化簡虻茫?br>上式對恒成立，故
，得
，
。
所以，函數(shù)的對稱中心是。
可見，＝圖象的對稱中心在導函數(shù)＝的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點。
下面僅選一些年高考中出現(xiàn)的部分試題，讓我們來體會一下如何應(yīng)用這些性質(zhì)快速、準確地解答問題。
例浙江設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則＝的圖象最有可能是

圖

圖
解：根據(jù)圖象特征，不妨設(shè)是三次函數(shù)。則的圖象給出了如下信息：
①；
②導方程兩根是，，對稱中心的橫坐標是；
③在，上；在－，或，上。
由①和性質(zhì)可排除、；由③和性質(zhì)確定選。

例江蘇函數(shù)在閉區(qū)間－，上的最大值、最小值分別是
，－，－
，－，－
解：函數(shù)的導方程是，兩根為和－，由性質(zhì)得：
，
。
故選。

例天津已知函數(shù)在＝±處取得極值。
討論和－是函數(shù)的極大值還是極小值；
過點，作曲線＝的切線，求此切線方程。
解：因為，所以導方程。
因為在＝±處取得極值，所以，是導方程的兩根，
所以
解得＝，＝
所以
由推論得是的極大值；＝－是的極小值。
曲線方程為，點，不在曲線上。
設(shè)切點為
因為，故切線方程為

點，在切線上，所以

解得，切點為－，－
故所求切線方程為

例湖北已知，函數(shù)的圖