三次函數的性質以及在高考中的應用舉例.doc

三次函數的性質以及在高考中的應用舉例,高中數學學習資料
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三次函數的性質以及在高考中的應用

三次函數已經成為中學階段一個重要的函數，在高考和一些重大考試中頻繁出現有關它的單獨命題。年高考，在江蘇卷、浙江卷、天津卷、重慶卷、湖北卷中都出現了這個函數的單獨命題，特別是湖北卷以壓軸題的形式出現，更應該引起我們的重視。單調性和對稱性最能反映這個函數的特性。下面我們就來探討一下它的單調性、對稱性以及圖象變化規(guī)律。
函數的導函數為。我們不妨把方程稱為原函數的導方程，其判別式。若，設其兩根為，則可得到以下性質：
性質：函數，
若，當時，＝是增函數；當時，其單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；
若，當時，是減函數；當時，其單調遞減區(qū)間是，，單調遞增區(qū)間是。
證明略
推論：函數，當時，不存在極大值和極小值；當時，有極大值、極小值。
根據和的不同情況，其圖象特征分別為：

圖
性質：函數若，且，則：
；
。
證明略
性質：函數是中心對稱圖形，其對稱中心是。
證明：設函數的對稱中心為，。
按向量將函數的圖象平移，則所得函數是奇函數，所以

化簡虻茫?br>上式對恒成立，故
，得
，
。
所以，函數的對稱中心是。
可見，＝圖象的對稱中心在導函數＝的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點。
下面僅選一些年高考中出現的部分試題，讓我們來體會一下如何應用這些性質快速、準確地解答問題。
例浙江設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則＝的圖象最有可能是

圖

圖
解：根據圖象特征，不妨設是三次函數。則的圖象給出了如下信息：
①；
②導方程兩根是，，對稱中心的橫坐標是；
③在，上；在－，或，上。
由①和性質可排除、；由③和性質確定選。

例江蘇函數在閉區(qū)間－，上的最大值、最小值分別是
，－，－
，－，－
解：函數的導方程是，兩根為和－，由性質得：
，
。
故選。

例天津已知函數在＝±處取得極值。
討論和－是函數的極大值還是極小值；
過點，作曲線＝的切線，求此切線方程。
解：因為，所以導方程。
因為在＝±處取得極值，所以，是導方程的兩根，
所以
解得＝，＝
所以
由推論得是的極大值；＝－是的極小值。
曲線方程為，點，不在曲線上。
設切點為
因為，故切線方程為

點，在切線上，所以

解得，切點為－，－
故所求切線方程為

例湖北已知，函數的圖