3

3

式中：w0為頂板中心點下沉量絕對值。

式(11)是采空區(qū)中心點位移對時間的微分方程。根據(jù)前面的假設(shè)，如果由式(11)求解出w0，再根據(jù)式(6)便可以得到采空區(qū)頂板任意點撓度的表達(dá)式，進(jìn)而得到該點的力學(xué)狀態(tài)。如果給定式(11)的邊界條件及初始條件，問題便轉(zhuǎn)化為求解一個典型的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

研究表明，式(11)通解為如下形式：

b

w0=C1er1t+C2er2t+3 (12)

b2

式中：r1，2=

可通過初始條件確定。

121 024?ab?3 598 5921

++ (9b) ?33?525?ba?11 025ab

；C1，C2為積分系數(shù)；

? 580 ? 巖石力學(xué)與工程學(xué)報 2010年

可以證明β1，β2，β3均大于0，故b1，b2＞0，所以r1，r2均為負(fù)數(shù)。因此：

b3β3q

= (13) b2Dβ2

可見，頂板最終位移與礦柱流變參數(shù)無關(guān)。換

w0max=

′ζk2。 受的應(yīng)力，且σ0=w0

因此，式(12)的初始條件可以寫成

w0??0w

t=0t=0

′?=w0

?

? (18) =v0??

言之，在考慮礦柱流變條件下，采空區(qū)頂板最終位移等同于無礦柱支撐下頂板自身在相同荷載作用下所產(chǎn)生的位移(見圖3)。在實際工程中，這意味著當(dāng)時間 t 增大到某一時刻時，礦柱流變作用會導(dǎo)

w由邊界條件式(18)求解式(12)便可得到積分常數(shù)C1，C2，該階段破壞條件[7]為

[σT]a2h2

(19) w0≥

48D

由于式(12)為非線性方程，求解破壞時間t0可采用二分法等數(shù)值方法。

(2) 內(nèi)部破裂邊界條件為

wx=±a=0，wy=±b=0

圖3 頂板中心點位移隨時間變化曲線示意圖 Fig.3 Schematic curve of displacement variation with time at

roof center

?2w?x2

y=±a

?2w=0，2

?y

y=±b

???

? (20) =0 ???

假設(shè)撓度的近似解形式為

?(x)=cos

πxπy

cos (21) 2a2b

3 積分常數(shù)確定

(1) 頂板在未破壞之前邊界條件為

同樣可以看出，邊界條件自動滿足。 設(shè)當(dāng)t=t0時，頂板邊界破壞進(jìn)入內(nèi)部破裂狀態(tài)，設(shè)頂板破壞連續(xù)，即頂板下沉的速度和位移都不發(fā)生突變，為方便分析，頂板斷裂時重新令時間

wx=±a=0，wy=±b=0

?w?w

=0

，?y?xx=±a

y=±b

?

??

? (14)=0?

? ?

t = 0，則初始條件為

w0

t=0t=0

??0w

=w1??

? (22) =v1??

根據(jù)頂板的下沉位移(撓度)和邊界約束條件情況，近似假設(shè)撓度具有如下解析解的形式[17]：

2

22

2

22

式中：w1，v1分別為第一階段結(jié)束時，頂板中心點下沉位移和速度。

此時破壞條件[8]為

φ(x，y)=

(x?a)(y?b)

(15)

a4b4

顯然，w(x，y，z)已滿足邊界條件。

由圖3可見，礦柱在最初受壓時，會產(chǎn)生瞬時彈性變形，而此時礦柱有效剛度為k2，產(chǎn)生的初始

′由王金安等[8]的研究可得 位移w0′=w0

441q129

?47???7

?2ζk2+9D?a4+a2b2+b4?? (16)

????

σxmaxσymax

?3π2D?1ν?

=+w(t)[σ]≥T???00

2h2?a2b2??

? (23) 2

3πD?ν1??=+w(t)[σ]≥00T???2h2?a2b2??

σxmax為頂板中點x方向最大拉應(yīng)力，σymax為式中：

頂板中點y方向最大拉應(yīng)力。

同理，將式(12)，(23)聯(lián)立則可求出此階段所需要時間t2。值得指出的是，此時雖然頂板破裂為多個板塊組成的結(jié)構(gòu)而沒有形成全局塌陷，但采空區(qū)已經(jīng)處于非常危險的狀態(tài)，因此可以認(rèn)為已經(jīng)失去了穩(wěn)定性，故穩(wěn)定時間可以視為2個階段之和。

初始下沉速度v0根據(jù)Burgers蠕變曲線[16]可得

v0=

σ0(η1+η2)

(17)

η1η2

式中：σ0為t = 0時刻采空區(qū)中心點對應(yīng)礦柱所承

第29卷 第3期 王金安，等. 采空區(qū)礦柱–頂板體系流變力學(xué)模型研究 ? 581 ?

2.45 cm。

(6) 初始下沉速度為

σ(η+η2)

=0.015 cm/h v0=01

4 案例分析

2005年11月6日河北省邢臺縣尚旺莊石膏礦區(qū)發(fā)生特別重大坍塌事故[1

，7]

η1η2

。事故造成37人死亡

(7) 根據(jù)初值條件式(22)，確定控制方程式(12)的系數(shù)：

(井下16人，地面21人)，88間房屋倒塌，8個豎井嚴(yán)重開裂變形受損。地表塌陷面積5.3×104 m2，塌陷區(qū)呈300 m×210 m橢圓形，坍塌體積24.3×104 m3。地表移動面積24.5×104 m2，地面最大傾斜為65～95 mm/m(約7°)，最大錯動量為1.5 m，塌陷區(qū)中部最大下沉8.0 m，誘發(fā)地震ML3.1。尚旺莊石膏礦區(qū)的5個礦先后建于1984～1998年期間。該礦地表下第四系覆巖厚為145 m，其容重為γ0=21 kN/m3。灰?guī)r厚度為h=38 m，容重γ=24 kN/m3。近似地將采空區(qū)視為矩形區(qū)域，則堅硬頂板長度為2a = 280 m，寬度2b = 180 m。頂板巖石為灰?guī)r，其彈性模量E = 50 GPa，泊松比ν = 0.25。頂板巖石極限抗拉強度[σ T] = 4.7 MPa。礦柱群的總橫截面積占采空區(qū)面積的比率λ = 39.16%，礦柱的高度H = 8 m，

w0=C1er1t+C2er2t+

b3?7

=?0.526e?5.913×10t? b2

2.251×10?5e?6.57t+0.527

根據(jù)破壞條件，求解該非線性方程，得：長邊破壞時，t1≈18個月；短邊破壞時，t2≈48個月。

第二階段初始位移w0 = 1.21 cm，頂板下沉速度為：v = 3.09×105cm/h，頂板中心下沉曲線為

－

w0=C1er1t+C2er2t+

b3?7

=?0.530e?4.89×10t? b2

7.48×10?9e?6.56t+0.527

同理，根據(jù)破壞條件求解第二階段時間為：頂板中心y方向破環(huán)時間估算為：t3≈14個月；頂板中心x方向破環(huán)時間估算為：t4≈69個月。因此，估算采空區(qū)穩(wěn)定時間為t≈48 + 69 = 117個月。

η2=1.31×109 礦柱流變參數(shù)η1=4.50×104 MPa·h，

MPa·h，k1=2.95×105 MPa，k2=17.70×103MPa。

計算過程如下：

(1) 作用在頂板上的總的均布載荷 q=q0+γh=21×145+24×38 = 3.957 MPa (2) 頂板的抗彎剛度

Eh350×109×383

D===228.63×

12(1?ν2)12×(1?0.252)

106 MPa·m3

(3) 均布面力系數(shù)：

nAζ==39.16%

4ab(4) t = 0時，頂板中心點下沉位移為 w0

tt=0

5 結(jié) 論

(1) 在分析采空區(qū)大面積頂板塌陷問題中，礦柱穩(wěn)定性起決定性作用。在給定的時間段內(nèi)，任何采空區(qū)頂板都會因礦柱流變而產(chǎn)生變形，引起頂板內(nèi)拉應(yīng)力的變化。松弛型伯格斯體較為全面地反映了支撐礦柱的流變特性。通過考慮礦柱流變的采空區(qū)力學(xué)模型分析可知，頂板位移將是一個關(guān)于時間

t的指數(shù)型函數(shù)。在頂板彈性假設(shè)前提下，如果不考慮其他因素影響，采空區(qū)頂板位移會達(dá)到一個穩(wěn)定值，最終沉降位移等同于無礦柱支撐下頂板在荷

???

=0.095 cm

441=128

q

47?7

2ζk2+9D?4+22+4

abb?a

載下的變形。因此，在實際分析中，如果當(dāng)頂板形成X型[8]破壞時，頂板失去穩(wěn)定，便可依此估算采空區(qū)穩(wěn)定時間。

(5) 頂板破壞條件

頂板長邊破壞條件：

[σT]b2h2

wa0≥=0.50 cm

48D頂板短邊破壞條件：

[σT]a2h2

wb0≥=1.21 cm

48D由式(23)可得：頂板中心沿y方向破壞條件：

(2) 從考慮礦巖流變特性的礦柱–頂板力學(xué)體系分析可以看出，即使較為堅硬的礦柱，給定比較長的時間跨度，頂板位移也會達(dá)到相當(dāng)?shù)牧恐�，因此考慮礦巖流變性質(zhì)的穩(wěn)定性分析，不僅針對軟巖礦柱支撐的采空區(qū)，同時在硬巖采空區(qū)力學(xué)狀態(tài)隨時間變化的分析中同樣具有重要意義。

(3) 影響礦柱頂板體系長期穩(wěn)定性因素較多，尤其是礦巖風(fēng)化和水作用同樣對采空區(qū)長期強度有

Wy0 = 1.47 cm，頂板中心沿x方向破壞條件：Wx0 =

? 582 ? 巖石力學(xué)與工程學(xué)報 2010年

著至關(guān)重要的作用。因此，在本文提出的方法基礎(chǔ)上，可以同時考慮風(fēng)化、水作用[18]，對流變參數(shù)進(jìn)行折減來反映這些因素的影響。在礦柱–頂板體系中，礦柱起著至關(guān)重要的作用，建立同時考慮頂板和礦柱流變特征模型，將為采空區(qū)力學(xué)狀態(tài)分析和穩(wěn)定時間預(yù)測等方面的研究提供新的途徑。 參考文獻(xiàn)(References)：

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